信号与系统--伯德图与零极点

前言

今天在做数字信号处理的期末报告时，用到了一个matlab中的一个函数 buttord
这个函数通过给出的滤波器通带与阻带的频率响应得到滤波器的阶数与截止频率，顿时想起来了在电赛打校赛的时候设计滤波器时也是需要计算滤波器的阶数，当时只知道滤波器阶数与阻带下降速率是10db倍数的关系，在最近复习专业课时想起来了伯德图与其的联系，于是有了这篇文章

伯德图的背景

在计算机没有出现的年代中，对于一个多阶的系统，想要通过单纯的计算描述出它的频率响应与相位是非常困难的，因为我要余姚一种近似的方法来描述他们，这时一位伟大的工程师出现了，他就是伯德，他发明了一种新的方法来描述系统的频率响应，这种方法就是伯德图

伯德图的坐标系

首先我们先来看看系统的传递函数频响的零极点表示公式

信号与系统这本书中我们可以知道可以把这样的方程转化为多个一次函数相乘的形式例如

转化为

这时候log函数有着把函数转为加法的性质，这样我们就成功将多极点零点系统能变为单极点单零点系统的线性叠加。
而我们要将底数设置为多少呢 ，在工程中我们一般设置底数为10且系数也为10，但是伯德图经常应用于能量分析中于是其系数就变为20

伯德图的性质

由上面的分析我们知道多个极点零点系统通过伯德图能拆分成单零点极点系统 那么我们现在来分析这么一个单零点形态

其取伯德系数后为

接下来推导来自奥本海姆的信号与系统的288页 具体分析建议请到信号与系统这本书中详细查看288页

接下来讲下关于伯德图的直观理解
1.为什么伯德图中极点与零点对应着20db与-20db的增长或下降速率

这里的下降速率是关于伯德图的近似下降速率并不是一个确切值，这里的下降速率为20db的原因是伯德系数确定的。

2.系统的相位在零点或极点处为为什么相移为正负45度

注意，这里的零点与极点并不是实际代表着对应的频率，如果对他们进行拉普拉斯变换，你就会发现他们在虚轴上，那么实轴上对应的数值即为虚部与实部的模相等的频率。 具体参考431页

3.系统的相位在零点或极点处为为什么频响为3db

这也是有伯德系数决定的，极点或零点处对应着虚部与实部的模相等时的频响，根据伯德系数此时为-3db点。

整点二次元